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In dieser kleinen Abhandlung werde ich zeigen, wie ein Element
der Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix (KM-Matrix) mit Hilfe der
Massen von d- und s-Quark und ein weiteres Element durch zwei andere
der Matrix berechnet werden kann.
Die linkshändigen Quarkdubletts koppeln nicht in ihrer reinen
Form
an die
 Austauschbosonen, sondern die oberer oder untere
Komponente (das ist Konventionssache) liegt in gemischter Form vor
(man wählt oft die unterer)
Wobei die Mischung durch die unitäre
Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix (KM-Matrix)
beschrieben wird. Es gilt also
Die Unitarität bewirkt die Erhaltung der
Gesamtwahrscheinlichkeit. Es gilt also
mit
wobei  die komplex konjugierte Matrix von V ist. Eine beliebig
komplexe 3x3-Matrix ist durch 18 Parameter bestimmt. Die Unitaritätsbedingung reduziert diese auf 9 reelle Parameter. Die
Wellenfunktionen von u, d, c, s, t, b absorbieren noch 5 Phasen, so
dass V durch 4 reelle Parameter beschrieben werden kann. Man wählt
z.B. folgende Parametrisierung.
Dabei bedeutet z.B.
 und
 . Messungen ergeben für die Beträge
Die Phase
 ist übrigens für die CP-Verletzung verantwortlich zu
machen. Wir werden im Folgenden für die gemischten Quarkzustände
eine nichtdiagonale Massenmatrix ansetzen. Diese Massenmatrix wird
durch die unitäre Transformation von V diagonalisiert, so dass man
eine diagonale Massenmatrix für die reinen, ungemischten
Quarkzustände erhält. Zu beachten sind die Größenordnungen der
Winkel für später anfallende Näherungen. Der Kosinus ist mit 1
verträglich (bei kleinen Winkeln). Die Winkel (bzw. der Sinus der
Winkel) sind bezüglich der Reihenfolge ihrer Größe folgendermaßen
anzusetzen:
Nun machen wir mit Hilfe des Massenoperators folgenden Ansatz für
den Massenteil der Lagrangefunktion gemischten Quarkwellenfunktion:
Wir spalten durch eine Exponentialfunktion
 eine Massenmatrix ab
Wir machen nun folgenden Ansatz für V, in dem grob nur die
größten Terme berücksichtigt werden:
Die Massenmatrix muss hermitisch sein. Weiterhin würden 3
Parameter für 3 Quarkmassen genügen, wir wählen jedoch diesen Ansatz
(Begründung folgt später). Wir setzen V ein und erhalten
Ähnlich wie bei den Winkeln setzen wir folgende Größenordnung an
(wir wissen ja, dass die 33-Komponente der Massenmatrix etwas mit
dem b-Quark zu tun haben muss, welches das schwerste im
Quarkmultiplett ist).
Dieser Ansatz der Massenmatrix für die gemischten Quarkzustände
soll uns mit Hilfe der KM-Matrix auf die diagonale Massenmatrix für
das „reine“ d-, s- und b-Quark führen.
Durch Vergleich beider Lagrangedichten erhalten wir also 15,
nicht alle voneinander unabhängige, Gleichungen. Es werden nur die
Terme höchster Ordnung berücksichtigt.
Dabei wurden immer nur die größten Terme berücksichtigt. In aller
Strenge lässt sich die Richtigkeit der Abschätzung nur durchführen,
wenn man die gleich gefundenen Endergebnisse berücksichtigt. Wir
erhalten 6 unabhängige Gleichungen:
Mit Hilfe von 4) ergibt sich für 1)
Und 5) und 6) ergeben
Etwas seltsam erschein, dass eine der beiden Massen von s- bzw.
d-Quark negativ sein muss. Dafür kann ich jetzt noch keine Erklärung
präsentieren. Das Verhältnis von s- zu d-Quark ist:
Was in sehr guter Übereinstimmung mit dem Experiment steht, denn
die Masse des d-Quarks liegt nach derzeitigen Messungen zwischen 4-8
MeV und die des s-Quark zwischen 80-130 MeV:
Der Mittelwert liegt genau bei 21. Des weiteren erhalten wir eine
Vorhersage für
 , wenn die anderen beiden Winkel bekannt sind:
Das liegt noch innerhalb der Messfehler, wenn auch an der unteren
Grenze.
Interessant wäre es, die höheren Ordnungen der Berechnung zu
berücksichtigen, um die anderen Matrixelemente der
Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix zu bestimmen. Dazu mehr in einer
späteren Veröffentlichung.
(c) Boris Unrau
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