Formeln Dreieck

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Allgemeine Eigenschaften

Ein allgemeines Dreieck
Bennennung der Eckpunkte
A, B und C (normalerweise im Uhrzeigersinn)
180°
Bennennung der Winkel
α (am Eckpunkt A), β (am Eckpunkt B) und γ (am Eckpunkt C)
Benennung der Seiten
Die Seiten werden nach dem Eckpunkt benannt mit Kleinbuchstaben, die ihnen gegenüber liegen.


Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligem Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich groß, wie das Quadrat über der Hypotenuse. Im nachfolgenden Bild ist der Rechte Winkel der an Ecke C des Dreiecks.

rechtwinkliges_dreieck_01.gif

= a² + b²
= c² - b²
= c² - a²
c = √(a² + b²)
a = √(c² - b²)
b = √(c² - a²)
a  Kathete
b  Kathete
c  Hypotenuse

Kathetensatz

Der Kathetensatz des Euklid

Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten q und c.

a2 = p·c
b2 = q·c

Höhensatz

Der Höhensatz des Euklid Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist.
h2 = p·q

Winkelfunktionen

rechtwinkliges_dreieck_02.gif

sin α = a : c
cos α = b : c
tan α = a : b
cot α = b : a
sin β = b : c
cos β = a : c
tan β = b : a
cot β = a : b
a  Gegenkathete von α, Ankathete von β
b  Gegenkathete von β, Ankathete von α
c  Hypotenuse

Sinussatz

a : b = sin α : sin β
a = (sin α · b) / sin β
b = (sin β · a) / sin α
sin α = (sin β · a) / b
sin β = (sin α · b) / a
b : c = sin β : sin γ
b = (sin β · c) / sin γ
c = (sin γ · b) / sin β
sin β = (sin γ · b) / c
sin γ = (sin β · c) / b
c : a = sin γ : sin α
c = (sin γ · a) / sin α
a = (sin α · c) / sin γ
sin γ = (sin α · c) / a
sin α = (sin γ · a) / c

Kosinussatz

= b² + c² - 2bc · cos α
= a² + c² - 2ac · cos β
= a² + b² - 2ab · cos γ

Fläche/Umfang

dreieck.gif

A = (l1 · b) / 2
l1 = (A · 2) / b
b = (A · 2) / l1
U = l1 + l2 + l3
l1 = U - (l2 + l3)
l2 = U - (l1 + l3)
l3 = U - (l1 + l2)
A           Fläche
l1, l2, l3  Längen der Seiten
b           Breite
U           Umfang

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