Das Ziegenproblem
Das Ziegenproblem (auch Monty-Hall-Problem) ist ein klassisches Wahrscheinlichkeitsrätsel aus dem Bereich der Stochastik. Es geht auf ein amerikanisches Fernsehspiel namens „Let’s Make a Deal“ zurück, das vom Moderator Monty Hall geleitet wurde. Das Problem wurde in den 1970er Jahren populär, nachdem es in der Zeitschrift „Parade“ in der Kolumne von Marilyn vos Savant veröffentlicht und kontrovers diskutiert wurde.
Das Szenario beschreibt ein Spiel, bei dem ein Kandidat zwischen drei verschlossenen Türen wählen kann. Hinter einer Tür befindet sich ein Hauptgewinn, in der Regel ein Auto, während sich hinter den beiden anderen Türen jeweils eine Ziege befindet. Nachdem der Kandidat eine der drei Türen ausgewählt hat, öffnet der Moderator eine der beiden verbliebenen Türen und zeigt eine Ziege. Anschließend erhält der Kandidat die Möglichkeit, entweder bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben oder zur anderen noch geschlossenen Tür zu wechseln. Die zentrale Frage lautet: Erhöht ein Wechsel die Gewinnwahrscheinlichkeit?
Obwohl es intuitiv erscheint, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit nach der ersten Auswahl bei beiden verbliebenen Türen gleich ist (jeweils 50 %), zeigt eine mathematische Analyse, dass ein Wechsel die Gewinnchance tatsächlich auf 2/3 erhöht. Bleibt der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit lediglich 1/3.
Die Erklärung liegt in der Tatsache, dass die ursprüngliche Wahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 den Hauptgewinn enthält. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 befindet sich der Gewinn also hinter einer der beiden anderen Türen. Da der Moderator gezielt eine Tür mit einer Ziege öffnet und niemals den Hauptgewinn preisgibt, konzentriert sich die gesamte 2/3-Wahrscheinlichkeit auf die verbliebene, noch nicht gewählte Tür. Daraus ergibt sich der Vorteil des Wechselns.
Mathematische Herleitung und Simulation
Die Wahrscheinlichkeiten im Ziegenproblem lassen sich durch einfache mathematische Überlegungen sowie durch Simulationen anschaulich darstellen. Bei der ersten Wahl hat der Kandidat eine Chance von 1/3, den Gewinn zu treffen. In den verbleibenden 2/3 der Fälle hat er eine Ziege gewählt. Wenn der Moderator dann eine Tür mit einer Ziege öffnet, geschieht dies stets mit dem Wissen, wo sich der Gewinn befindet. Die geöffnete Tür liefert dem Kandidaten somit indirekte Information.
Das Problem lässt sich auch mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Bayes’schen Regel formal herleiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinn hinter der anderen, noch nicht gewählten Tür befindet, beträgt nach dem Öffnen einer Ziegentür 2/3. Diese Schlussfolgerung bleibt auch dann korrekt, wenn das Experiment mehrfach durchgeführt wird. In Simulationen mit vielen Wiederholungen zeigt sich deutlich, dass Kandidaten, die stets die Tür wechseln, in etwa zwei Drittel der Fälle gewinnen, während Kandidaten, die bei ihrer Wahl bleiben, nur in etwa einem Drittel der Fälle erfolgreich sind.
Ein weiteres Mittel zur Verdeutlichung ist die Verallgemeinerung des Problems. Wenn etwa 100 Türen zur Auswahl stehen und der Moderator nach der ersten Wahl 98 Türen mit Ziegen öffnet, erscheint es intuitiv sinnvoll, auf die eine verbliebene Tür zu wechseln. Dieses Beispiel illustriert die zugrunde liegende Logik in eindrücklicher Weise und unterstützt das mathematische Ergebnis.
Das Ziegenproblem wird häufig in der Lehre eingesetzt, um Missverständnisse über Wahrscheinlichkeiten und bedingte Ereignisse zu klären. Es zeigt exemplarisch, wie sich menschliche Intuition von der mathematischen Realität unterscheiden kann. Die Diskussion um das Problem führte über Jahre hinweg zu intensiven Debatten, insbesondere in der populärwissenschaftlichen Darstellung. Mittlerweile gilt die Analyse als mathematisch geklärt, das Wechseln wird eindeutig als optimale Strategie empfohlen.
