Gleichstrom

Gleichstrom (DC, Direct Current) bezeichnet elektrischen Strom, der in eine Richtung fließt und dessen Stärke zeitlich konstant bleibt. Im Gegensatz zum Wechselstrom ändert Gleichstrom seine Richtung nicht. Typische Gleichstromquellen sind Batterien, Akkumulatoren oder Solarzellen. Gleichstrom wird oft in Elektronikgeräten, Fahrzeugen oder bei der Energieversorgung in Off-Grid-Anlagen genutzt.

Die grundlegenden Größen bei Gleichstrom sind Stromstärke, Spannung, Widerstand, elektrische Arbeit und Leistung. Stromstärke gibt an, wie viel elektrische Ladung pro Zeiteinheit durch einen Leiter fließt. Spannung beschreibt, wie viel Energie pro Ladungseinheit zwischen zwei Punkten bereitgestellt wird. Der Widerstand eines Leiters bestimmt, wie stark der Stromfluss behindert wird. Elektrische Arbeit und Leistung beschreiben, wie viel Energie umgesetzt bzw. in welcher Geschwindigkeit Energie übertragen wird.

Die folgenden Formeln fassen die wichtigsten Beziehungen im Gleichstromkreis zusammen. Sie dienen als Übersicht für praktische Anwendungen und Berechnungen, ohne dass ein tiefes physikalisches Vorwissen erforderlich ist.

Formeln

Stromstärke und elektrische Ladung

I = Q / t

I   Stromstärke                        [I]           = A  (Ampere)
Q   Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge  [A · s = C]   = C  (Coulomb)
t   Zeit                               [s]           = s  (Sekunde)

Spannung

U = W / Q

U  Klemmspannung                     [ W / A = V ]                       = V  (Volt)  
Q  Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge [ A · s = C ]                       = C  (Coulomb)  
P  elektr. Leistung                  [ V · A = J / s = (N · m) / s = W ] = W  (Watt) 
W  elektr. Arbeit / Stromarbeit      [ V · A · s = N · m = W · s = J ]   = J  (Joule)

Ohmsches Gesetz

I = U / R

U = I * R

1 V = 1 A * 1 Ω

U  Spannung     [U]  = V  (Volt)  
I  Stromstärke  [I]  = A  (Ampere)  
R  Widerstand   [R]  = Ω  (Ohm)  
G=1/R  Leitwert [G]  = S  (Siemens)

Energie, Arbeit und Leistung

W = U · I · t

W = P · t

W = U · Q

P = U · I = W / t

P = I² · R = U² / R

U  Klemmspannung                [V = W/A]                       = V  (Volt)  
I  Stromstärke                  [A]                             = A  (Ampere)  
t  Zeit                         [s]                             = s  (Sekunde)  
W  elektr. Arbeit / Stromarbeit [V · A · s = N · m = J = W · s]   
P  elektr. Leistung             [V · A = W = J/s = (N · m)/s]   = W  (Watt) 

Wirkungsgrad

η = Pab / Pzu

η = Pv = Pzu - Pab

ηges = ETA1 · ETA2

η = P / Pges = Ra · I² / (Ri + Ra) · I² = Ra / Ri · (1 + Ra / Ri) = (Ra / Ri) / (1 + Ra / Ri)

Pab  abgegebene Leistung [V · A = W = J / s = N · m / s]  = W (Watt) 
Pzu  zugeführte Leistung [V · A = W = J / s = N · m / s]  = W (Watt) 
Pv  Verlustleistung      [V · A = W = J / s = N · m / s]  = W (Watt) 
η  Wirkungsgrad (griech. "eta") 

Stromdichte

S = I / A

S  Stromdichte             [A / mm²]   
I  Stromstärke             [A = V / Ω]  = A  (Ampere)  
A  Querschnitt des Drahtes [mm²] = A = d² · pi / 4

Widerstand und Leitwert

G = 1 / R

R  Widerstand [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
G  Leitwert   [S = 1 / Ω] = S  (Siemens)

Einheitswiderstand und Einheitsleitwert

ρ = 1 / κ

           Einheitswiderstand  Einheitsleitwert  Temperaturkoeff.
           -------------------------------------------------------
           ρ · 10^-6 [Ω·m]     κ · 10^-6 [S/m]   α20 [1/K] 
Silber     0,016               62,5              0,0041 
Kupfer     0,01786             56                0,0039 
Aluminium  0,02857             35                0,004

Leiterwiderstand

R = l / (γ · A)

R = (ρ · l) / A

γ = 1 / ρ

R  Leiterwiderstand        [Ω = V / A] = Ω (Ohm)   
l  Länge des Drahtes       [m]         = m  (Meter) 
A  Querschnitt des Drahtes [mm²] = A = d² · π / 4

Temperaturabhängigkeit von Widerständen

ΔR = α20 · Δθ · R20

Rθ = R20 + ΔR

Rθ = R20 · (1 + α20 · Δθ)

Δθ = (Rθ - R20) / (α20 · R20)

A = ((ρ · l) / R20) · (1 + α20 · Δθ)

ΔR   Widerstandsänderung                     [Ω = V / A] = Ω (Ohm)   
Rθ   Warmwiderstand                          [Ω = V / A] = Ω (Ohm)   
R20  Kaltwiderstand bei 20°C                 [Ω = V / A] = Ω (Ohm)   
α20  Temperaturkoeffizient                   [1 / K]     = K (Kelvin)   
Δθ   Temperaturdifferenz                     [K]       
A    Querschnitt bei gleichem
     Widerstand, aber bei anderer Temperatur       
l    Länge des Drahtes                       [m]         = m  (Meter)

Reihenschaltungen von Widerständen

Rers = R1 + R2 + R3

I = I1 = I2 = I3

U = U1 + U2 + U3

Rers  Ersatzwiderstand [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
I  Stromstärke [A = V / Ω]  = A  (Ampere)
U  Spannung [V = A · Ω]  = V  (Volt)

Parallelschaltungen von Widerständen

1/Rers = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Rers = (R1 · R2) / (R1 + R2)

I = I1 + I2 + I3

U = U1 = U2 = U3

Rers  Ersatzwiderstand [Ω = V / A]  = Ω  (Ohm)
I  Stromstärke         [A = V / Ω]  = A  (Ampere)
U  Spannung            [V = A · Ω]  = V  (Volt)

Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz)

ΣIzu = ΣIab

ΣIzu  Summe der zufließenden Ströme
ΣIab  Summe der abfließenden Ströme

Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz)

ΣUerz = ΣUverb

ΣUerz  Summe der Erzeugerspannungen
ΣUverb  Summe der Verbraucherspannungen

Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern

Rn = Rm / (n-1)

n = I / Im

In = I - Im

Rn  Nebenwiderstand              [Ω = V / A]  = Ω  (Ohm) 
Rm  Meßwerkwiderstand            [Ω = V / A]  = Ω  (Ohm) 
n  Faktor Meßbereichserweiterung       
I  zu messende Stromstärke       [A = V / Ω]  = A  (Ampere)  
Im  Meßwerkstrom                 [A = V / Ω]  = A  (Ampere)  
In  Stromim Nebenwiderstand      [A = V / Ω]  = A  (Ampere)

Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen

I = (n · Uo) / (Ra + n · Ri)

Ri  innere Widerstand               [Ω = V / A] = Ω  (Ohm) 
Ra  äußere Widerstand               [Ω = V / A] = Ω  (Ohm) 
Uo  Urspannung                       [V = A · Ω] = V  (Volt) 
n  Anzahl gleicher Spannungsquellen       
I  Stromstärke im Stromkreis        [A = V / Ω]  = A  (Ampere)

Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen

R = Ra + (Ri / n)

I = Uo / (Ra + (Ri / n))

Ri  innere Widerstand               [Ω = V / A]  = Ω  (Ohm) 
Ra  äußere Widerstand               [Ω = V / A]  = Ω  (Ohm) 
Uo  Urspannung                       [V = A · Ω]  = V  (Volt) 
n  Anzahl gleicher Spannungsquellen       
I  Stromstärke im Stromkreis        [A = V / Ω]  = A  (Ampere)

Ersatzschaltung für Spannungsquellen besteht aus Uo und Ri

Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises

U = U1 + U2 + U3

U = IR1 + IR2 + IR3

U = IRers

U  Gesamtspannung [V = A · Ω] = V  (Volt)

Spannungsfall und Spannungsverlust

Uv = I · RL

Uv = I · ρ · ((2 · L) / A)

Un = U - Uv

Uv  Spannungsverlust   [V = A · Ω] = V  (Volt) 
Un  Nutzspannung       [V = A · Ω] = V  (Volt) 
U   Klemmspannung      [V = A · Ω] = V  (Volt) 
I   Stromstärke        [A = V / Ω] = A  (Ampere)  
L   Länge der Leitung  [m]         = m  (Meter)  
RL  Leitungswiderstand [Ω = V / A] = Ω  (Ohm) 
ρ   Einheitswiderstand [Ω · m]

Innerer Spannungsfall in Spannungsquellen

U = Uo - I · Ri

I = Uo / (Ra + Ri)

Uo = I · Ra + I · Ri

Uv  Spannungsverlust   [V = A · Ω] = V  (Volt) 
Un  Nutzspanung        [V = A · Ω] = V  (Volt) 
U   Klemmspannung      [V = A · Ω] = V  (Volt) 
I   Stromstärke        [A = V / Ω] = A  (Ampere)  
L   Länge der Leitung  [m]         = m  (Meter)  
RL  Leitungswiderstand [Ω = V / A] = Ω  (Ohm) 
ρ   Einheitswiderstand [Ω · m]

Leerlauf der Spannungsquelle Ra >> unendlich -> I = 0; Kurzschluss der Spannungsquelle Ra >> 0 -> I >> unendlich (tatsächlich begrenzt durch Ri + Ra)

Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri

P = U · I = Uo · (Ra / (Ra + Ri))

Uo  Urspannung [V = A · Ω] = V  (Volt)

Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle

Uo = I · Ra + I · Ri

Uo = I' · R'a + I' · Ra

Ri = (I' · R'a - I · Ra) / (I - I')

Uo  Urspannung [V = A · Ω] = V  (Volt)

Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers

Rv = (U - Un) / I

Rv  Vorschaltwiderstand           [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
U   verfügbare Netzspannung       [V = A · Ω] = V  (Volt)
Un  Nennspannung des Verbrauchers [V = A · Ω] = V  (Volt)

Spannungsteiler

R1 = (1 - k) · R

R2 = k · R

U3 / U = k / (1 + (R / R3) · k · (1 - k))

R1  oberer Teil des Spannungsteilers
R2  unterer Teil des Spannungsteilers
R3  Verbraucherwiderstand              [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
R   Schiebewiderstand                  [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
U   Gesamtspannung                     [V = A · Ω] = V  (Volt)
k   k = 0 > keine Spannung, k = 1 > volle Spannung

Wheatstonesche Meßbrücke

Rx / RN = R1 / R2 = L1 / L2

Rx  unbekannter Widerstand                           [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
RN  Nominalwiderstand, Vergleichswiderstand          [Ω = V / A] = Ω  (Ohm)
R1  erster Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler
R2  zweiter Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler
L1  erster Teil des Drahtes vom Spannungsteiler
L2  zweiter Teil des Drahtes vom Spannungsteiler

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