Quelltext der Seite Formeln Dreieck

{{TOC-Man|[[#Allgemeine Eigenschaften|Allgemeine Eigenschaften]] - [[#Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] - [[#Kathetensatz|Kathetensatz]] - [[#Höhensatz|Höhensatz]] - [[#Winkelfunktionen|Winkelfunktionen]] - [[#Sinussatz|Sinussatz]] - [[#Kosinussatz|Kosinussatz]] - [[#Fläche/Umfang|Fläche/Umfang]]}}
== Allgemeine Eigenschaften ==
[[Bild:Dreieck.png|thumb|200px|Ein allgemeines Dreieck]]
{|
!|<div align="left">Bennennung der Eckpunkte</div>
 |A, B und C (normalerweise im Uhrzeigersinn)
 |-
!|<div align="left">[[Winkel]]summe</div>
 |180°
 |-
!|<div align="left">Bennennung der Winkel</div>
 |α (am Eckpunkt A), β (am Eckpunkt B) und γ (am Eckpunkt C)
 |-
!|<div align="left">Benennung der Seiten</div>
 |Die Seiten werden nach dem Eckpunkt benannt mit Kleinbuchstaben, die ihnen gegenüber liegen.
 |-
 |}


== Satz des Pythagoras ==

Im rechtwinkligem Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich groß, wie das Quadrat über der Hypotenuse. Im nachfolgenden Bild ist der Rechte Winkel der an Ecke C des Dreiecks.

http://www.science-at-home.de/bilder/wikidata/mathematik/rechtwinkliges_dreieck_01.gif

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''c²''' = a² + b²
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''a²''' = c² - b²
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''b²''' = c² - a²
|}
|}

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''c''' = √(a² + b²)
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''a''' = √(c² - b²)
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''b''' = √(c² - a²)
|}
|}

 a  Kathete
 b  Kathete
 c  Hypotenuse

== Kathetensatz ==
[[Bild:Kathetensatz.png|thumb|160px|Der Kathetensatz des Euklid]]

Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten q und c.

{{Formel|=a<sup>2</sup> = p·c}}
{{Formel|=b<sup>2</sup> = q·c}}

== Höhensatz ==
{|
 |[[Bild:Höhensatz.png|float:right|160px|Der Höhensatz des Euklid]]
 |Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist.
 |}

{{Formel|=h<sup>2</sup> = p·q}}

== Winkelfunktionen ==

http://www.science-at-home.de/bilder/wikidata/mathematik/rechtwinkliges_dreieck_02.gif

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''sin α''' = a : c
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''cos α''' = b : c
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''tan α''' = a : b
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''cot α''' = b : a
|}
|}

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''sin β''' = b : c
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''cos β''' = a : c
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''tan β''' = b : a
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''cot β''' = a : b
|}
|}

 a  Gegenkathete von α, Ankathete von β
 b  Gegenkathete von β, Ankathete von α
 c  Hypotenuse

== Sinussatz ==

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|a : b = sin α : sin β
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''a''' = (sin α · b) / sin β
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''b''' = (sin β · a) / sin α
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin α''' = (sin β · a) / b
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin β''' = (sin α · b) / a
|}
|}

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|b : c = sin β : sin γ
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''b''' = (sin β · c) / sin γ
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''c''' = (sin γ · b) / sin β
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin β''' = (sin γ · b) / c
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin γ''' = (sin β · c) / b
|}
|}

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|c : a = sin γ : sin α
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''c''' = (sin γ · a) / sin α
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''a''' = (sin α · c) / sin γ
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin γ''' = (sin α · c) / a
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''sin α''' = (sin γ · a) / c
|}
|}

== Kosinussatz ==

{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''a²''' = b² + c² - 2bc · cos α
|}

{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''b²''' = a² + c² - 2ac · cos β
|}

{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''c²''' = a² + b² - 2ab · cos γ
|}

== Fläche/Umfang ==

{| style="text-align: right" border = "0" style="border-collapse: collapse" cellpadding="1" align="right"
 |-
 ! style="text-align: left;" |
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|}

http://www.science-at-home.de/bilder/wikidata/mathematik/dreieck.gif

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''A''' = (l<sub>1</sub> · b) / 2
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''l<sub>1</sub>''' = (A · 2) / b
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''b''' = (A · 2) / l<sub>1</sub>
|}
|}

{|
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#e1e8f2" align="center" valign="middle"
|'''U''' = l<sub>1</sub> + l<sub>2</sub> + l<sub>3</sub>
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''l<sub>1</sub>''' = U - (l<sub>2</sub> + l<sub>3</sub>)
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''l<sub>2</sub>''' = U - (l<sub>1</sub> + l<sub>3</sub>)
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="BORDER-COLLAPSE: collapse" borderColor="#336699" align="center"
|- bgcolor="#edecf2" align="center" valign="middle"
|'''l<sub>3</sub>''' = U - (l<sub>1</sub> + l<sub>2</sub>)
|}
|}

 A           Fläche
 l<sub>1</sub>, l<sub>2</sub>, l<sub>3</sub>  Längen der Seiten
 b           Breite
 U           Umfang

----

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